Toutes les formules indispensables du programme de mathématiques 2ème année Bac Sciences Mathématiques (SM-A et SM-B) en une seule fiche : limites, dérivation, suites, ln/exp, intégrales, nombres complexes, arithmétique et probabilités. Les maths comptent coefficient 9 à l'examen national SM — chaque formule maîtrisée rapporte des points.
1. Limites et continuité
Limites usuelles
limx→+∞ xⁿ = +∞ · limx→+∞ 1/xⁿ = 0 · limx→0⁺ 1/xⁿ = +∞
limx→0 sin(x)/x = 1 · limx→0 (1−cos x)/x² = 1/2 · limx→0 tan(x)/x = 1
limx→0 sin(x)/x = 1 · limx→0 (1−cos x)/x² = 1/2 · limx→0 tan(x)/x = 1
Théorèmes clés
- Encadrement (gendarmes) : si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et lim g = lim h = ℓ, alors lim f = ℓ.
- TVI : f continue sur [a,b] et k entre f(a) et f(b) ⟹ ∃ c ∈ [a,b], f(c) = k. Si f est strictement monotone, c est unique.
- Fonction réciproque : f continue strictement monotone sur I ⟹ f admet une réciproque f⁻¹ continue sur f(I), de même sens de variation. La courbe de f⁻¹ est symétrique de celle de f par rapport à la droite y = x.
(f⁻¹)'(y₀) = 1 / f'(x₀) avec y₀ = f(x₀) et f'(x₀) ≠ 0
Racine n-ième
ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b · (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ) · ⁿ√(ᵐ√a) = ⁿᵐ√a · x = aᵖ/ⁿ ⟺ x = ⁿ√(aᵖ)
2. Dérivation et étude des fonctions
| Fonction | Dérivée | Fonction | Dérivée |
|---|---|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | tan x | 1 + tan²x = 1/cos²x |
| 1/x | −1/x² | ⁿ√x | 1/(n·ⁿ√(xⁿ⁻¹)) |
| √x | 1/(2√x) | uⁿ | n·u'·uⁿ⁻¹ |
| sin x | cos x | √u | u'/(2√u) |
| cos x | −sin x | u∘v | v'·(u'∘v) |
(u·v)' = u'v + uv' · (u/v)' = (u'v − uv')/v² · (arctan x)' = 1/(1+x²)
Théorèmes (TAF et Rolle)
- Rolle : f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, f(a) = f(b) ⟹ ∃ c, f'(c) = 0.
- TAF : f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ ⟹ ∃ c ∈ ]a,b[, f'(c) = (f(b)−f(a))/(b−a).
- Inégalité des accroissements finis : si |f'| ≤ M sur I, alors |f(b)−f(a)| ≤ M|b−a|.
💡 Concavité : f'' > 0 ⟹ convexe (∪) · f'' < 0 ⟹ concave (∩) · f'' s'annule en changeant de signe ⟹ point d'inflexion. Question quasi systématique à l'examen national.
3. Suites numériques
Arithmétique : uₙ = u₀ + n·r · S = (nombre de termes)·(1er + dernier)/2
Géométrique : uₙ = u₀·qⁿ · S = u₀·(1−qⁿ⁺¹)/(1−q) (q ≠ 1)
Géométrique : uₙ = u₀·qⁿ · S = u₀·(1−qⁿ⁺¹)/(1−q) (q ≠ 1)
- Convergence monotone : croissante et majorée ⟹ convergente · décroissante et minorée ⟹ convergente.
- Suites adjacentes : (uₙ) croissante, (vₙ) décroissante, lim(vₙ−uₙ) = 0 ⟹ même limite.
- Suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) : si f continue et (uₙ) converge vers ℓ, alors f(ℓ) = ℓ (point fixe).
- |q| < 1 ⟹ lim qⁿ = 0 · q > 1 ⟹ lim qⁿ = +∞.
4. Fonctions logarithmiques
ln(ab) = ln a + ln b · ln(a/b) = ln a − ln b · ln(aⁿ) = n·ln a · ln√a = ½ln a
(ln x)' = 1/x · (ln u)' = u'/u · ln 1 = 0 · ln e = 1
(ln x)' = 1/x · (ln u)' = u'/u · ln 1 = 0 · ln e = 1
limx→+∞ ln x/x = 0 · limx→0⁺ x·ln x = 0 · limx→0 ln(1+x)/x = 1 · limx→+∞ ln x/xⁿ = 0
5. Fonctions exponentielles
eᵃ·eᵇ = eᵃ⁺ᵇ · eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ · (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ · ln(eˣ) = x · e^(ln x) = x (x>0)
(eˣ)' = eˣ · (eᵘ)' = u'·eᵘ
(eˣ)' = eˣ · (eᵘ)' = u'·eᵘ
limx→+∞ eˣ/x = +∞ · limx→−∞ x·eˣ = 0 · limx→0 (eˣ−1)/x = 1 · limx→+∞ eˣ/xⁿ = +∞
6. Calcul intégral
∫ᵃᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) · ∫ u'·uⁿ = uⁿ⁺¹/(n+1) · ∫ u'/u = ln|u| · ∫ u'·eᵘ = eᵘ
Intégration par parties (IPP)
∫ᵃᵇ u(x)·v'(x)dx = [u(x)·v(x)]ᵃᵇ − ∫ᵃᵇ u'(x)·v(x)dx
Applications
- Aire entre la courbe et l'axe des abscisses sur [a,b] : A = ∫ᵃᵇ |f(x)|dx (en unités d'aire).
- Volume de révolution autour de (Ox) : V = π·∫ᵃᵇ [f(x)]²dx.
- Valeur moyenne de f sur [a,b] : μ = (1/(b−a))·∫ᵃᵇ f(x)dx.
7. Équations différentielles
y' = ay + b ⟹ y(x) = k·e^(ax) − b/a
y'' + ω²y = 0 ⟹ y(x) = A·cos(ωx) + B·sin(ωx)
y'' + ω²y = 0 ⟹ y(x) = A·cos(ωx) + B·sin(ωx)
8. Nombres complexes
z = a + ib · |z| = √(a²+b²) · z·z̄ = |z|² · z = r(cos θ + i·sin θ) = r·e^(iθ)
Moivre et Euler
(cos θ + i·sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ)
cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 · sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ))/2i
cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 · sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ))/2i
Géométrie complexe
- Translation de vecteur d'affixe b : z' = z + b.
- Homothétie centre Ω(ω), rapport k : z' − ω = k(z − ω).
- Rotation centre Ω(ω), angle θ : z' − ω = e^(iθ)·(z − ω).
- arg((z_C − z_A)/(z_B − z_A)) = angle (AB, AC) — alignement si réel, orthogonalité si imaginaire pur.
💡 Racines n-ièmes de l'unité : zⁿ = 1 ⟺ z = e^(2ikπ/n), k = 0, 1, …, n−1. Leur somme vaut 0.
9. Arithmétique dans ℤ
- Division euclidienne : a = bq + r avec 0 ≤ r < b.
- Bézout : a et b premiers entre eux ⟺ ∃ u,v ∈ ℤ, au + bv = 1.
- Gauss : a | bc et a premier avec b ⟹ a | c.
- Fermat : p premier, p ∤ a ⟹ a^(p−1) ≡ 1 [p].
- Congruences : a ≡ b [n] et c ≡ d [n] ⟹ a+c ≡ b+d [n] et ac ≡ bd [n].
- PGCD : algorithme d'Euclide — pgcd(a,b) = pgcd(b,r). pgcd(a,b)·ppcm(a,b) = |ab|.
10. Structures algébriques (SM)
- Groupe (G, ∗) : loi associative + élément neutre + tout élément a un symétrique. Commutatif = abélien.
- Anneau (A, +, ×) : (A,+) groupe abélien, × associative et distributive sur +.
- Corps : anneau commutatif où tout élément non nul est inversible (ex : ℝ, ℂ, ℤ/pℤ avec p premier).
- Morphisme : f(x ∗ y) = f(x) ⊤ f(y).
11. Probabilités
p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B) · p(Ā) = 1 − p(A)
p(A|B) = p(A∩B)/p(B) · A, B indépendants ⟺ p(A∩B) = p(A)·p(B)
p(A|B) = p(A∩B)/p(B) · A, B indépendants ⟺ p(A∩B) = p(A)·p(B)
- Dénombrement : arrangements Aₙᵖ = n!/(n−p)! · combinaisons Cₙᵖ = n!/(p!(n−p)!).
- Loi binomiale B(n, p) : p(X = k) = Cₙᵏ·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ · E(X) = np · V(X) = np(1−p).
- Espérance : E(X) = Σ xᵢ·p(X = xᵢ) · V(X) = E(X²) − [E(X)]².
⚠️ Pièges fréquents à l'examen national SM : oublier la valeur absolue dans ∫ u'/u = ln|u| · confondre arg(z̄) = −arg(z) et arg(−z) = arg(z) + π · appliquer le TVI sans vérifier la continuité · oublier le cas r = 0 dans la division euclidienne.
Coefficients SM — rappel
À l'examen national Sciences Maths, les mathématiques pèsent coefficient 9 (le plus élevé de toutes les filières), la physique-chimie 7, et la SVT ou les sciences de l'ingénieur 3. Consulte le détail complet : coefficients SM-A · coefficients SM-B.
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