Formules Maths 2 Bac SM — ملخص الرياضيات

Formules Maths 2 Bac SM : aide-mémoire non exhaustif, exemples et conditions d’application. Vérifier le cours et le programme correspondant à sa filière.

1. Limites et continuité

Limites usuelles

lim_x→+∞ xⁿ = +∞ · lim_x→+∞ 1/xⁿ = 0 · lim_x→0⁺ 1/xⁿ = +∞
lim_x→0 sin(x)/x = 1 · lim_x→0 (1−cos x)/x² = 1/2 · lim_x→0 tan(x)/x = 1

Théorèmes clés

Encadrement (gendarmes) : si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et lim g = lim h = ℓ, alors lim f = ℓ.
TVI : f continue sur [a,b] et k entre f(a) et f(b) ⟹ ∃ c ∈ [a,b], f(c) = k. Si f est strictement monotone, c est unique.
Fonction réciproque : f continue strictement monotone sur I ⟹ f admet une réciproque f⁻¹ continue sur f(I), de même sens de variation. La courbe de f⁻¹ est symétrique de celle de f par rapport à la droite y = x.

(f⁻¹)'(y₀) = 1 / f'(x₀) avec y₀ = f(x₀) et f'(x₀) ≠ 0

Racine n-ième

ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b · (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ) · ⁿ√(ᵐ√a) = ⁿᵐ√a · x = a^(p/n) = ⁿ√(aᵖ), pour a > 0 et n entier positif

2. Dérivation et étude des fonctions

Fonction	Dérivée	Fonction	Dérivée
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	tan x	1 + tan²x = 1/cos²x
1/x	−1/x²	ⁿ√x	1/(n·ⁿ√(xⁿ⁻¹))
√x	1/(2√x)	uⁿ	n·u'·uⁿ⁻¹
sin x	cos x	√u	u'/(2√u)
cos x	−sin x	u∘v	v'·(u'∘v)

(u·v)' = u'v + uv' · (u/v)' = (u'v − uv')/v² · (arctan x)' = 1/(1+x²)

Théorèmes (TAF et Rolle)

Rolle : f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[, f(a) = f(b) ⟹ ∃ c, f'(c) = 0.
TAF : f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ ⟹ ∃ c ∈ ]a,b[, f'(c) = (f(b)−f(a))/(b−a).
Inégalité des accroissements finis : si |f'| ≤ M sur I, alors |f(b)−f(a)| ≤ M|b−a|.

💡 Concavité : f'' > 0 ⟹ convexe (∪) · f'' < 0 ⟹ concave (∩) · f'' s'annule en changeant de signe ⟹ point d'inflexion. Question quasi systématique à l'examen national.

3. Suites numériques

Arithmétique : uₙ = u₀ + n·r · S = (nombre de termes)·(1er + dernier)/2
Géométrique : uₙ = u₀·qⁿ · S = u₀·(1−qⁿ⁺¹)/(1−q) (q ≠ 1)

Convergence monotone : croissante et majorée ⟹ convergente · décroissante et minorée ⟹ convergente.
Suites adjacentes : (uₙ) croissante, (vₙ) décroissante, lim(vₙ−uₙ) = 0 ⟹ même limite.
Suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) : si f continue et (uₙ) converge vers ℓ, alors f(ℓ) = ℓ (point fixe).
|q| < 1 ⟹ lim qⁿ = 0 · q > 1 ⟹ lim qⁿ = +∞.

4. Fonctions logarithmiques

ln(ab) = ln a + ln b · ln(a/b) = ln a − ln b · ln(aⁿ) = n·ln a · ln√a = ½ln a
(ln x)' = 1/x · (ln u)' = u'/u · ln 1 = 0 · ln e = 1

lim_x→+∞ ln x/x = 0 · lim_x→0⁺ x·ln x = 0 · lim_x→0 ln(1+x)/x = 1 · lim_x→+∞ ln x/xⁿ = 0

5. Fonctions exponentielles

eᵃ·eᵇ = eᵃ⁺ᵇ · eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ · (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ · ln(eˣ) = x · e^(ln x) = x (x>0)
(eˣ)' = eˣ · (eᵘ)' = u'·eᵘ

lim_x→+∞ eˣ/x = +∞ · lim_x→−∞ x·eˣ = 0 · lim_x→0 (eˣ−1)/x = 1 · lim_x→+∞ eˣ/xⁿ = +∞

6. Calcul intégral

∫ᵃᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) · ∫ u'·uⁿ = uⁿ⁺¹/(n+1) · ∫ u'/u = ln|u| · ∫ u'·eᵘ = eᵘ

Intégration par parties (IPP)

∫ᵃᵇ u(x)·v'(x)dx = [u(x)·v(x)]ᵃᵇ − ∫ᵃᵇ u'(x)·v(x)dx

Applications

Aire entre la courbe et l'axe des abscisses sur [a,b] : A = ∫ᵃᵇ |f(x)|dx (en unités d'aire).
Volume de révolution autour de (Ox) : V = π·∫ᵃᵇ [f(x)]²dx.
Valeur moyenne de f sur [a,b] : μ = (1/(b−a))·∫ᵃᵇ f(x)dx.

7. Équations différentielles

y' = ay + b ⟹ y(x) = k·e^(ax) − b/a
y'' + ω²y = 0 ⟹ y(x) = A·cos(ωx) + B·sin(ωx)

8. Nombres complexes

z = a + ib · |z| = √(a²+b²) · z·z̄ = |z|² · z = r(cos θ + i·sin θ) = r·e^(iθ)

Moivre et Euler

(cos θ + i·sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i·sin(nθ)
cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2 · sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ))/2i

Géométrie complexe

Translation de vecteur d'affixe b : z' = z + b.
Homothétie centre Ω(ω), rapport k : z' − ω = k(z − ω).
Rotation centre Ω(ω), angle θ : z' − ω = e^(iθ)·(z − ω).
arg((z_C − z_A)/(z_B − z_A)) = angle (AB, AC) — alignement si réel, orthogonalité si imaginaire pur.

💡 Racines n-ièmes de l'unité : zⁿ = 1 ⟺ z = e^(2ikπ/n), k = 0, 1, …, n−1. Leur somme vaut 0 pour n ≥ 2 ; pour n = 1 elle vaut 1.

9. Arithmétique dans ℤ

Division euclidienne : a = bq + r avec b entier strictement positif et 0 ≤ r < b.
Bézout : a et b premiers entre eux ⟺ ∃ u,v ∈ ℤ, au + bv = 1.
Gauss : a | bc et a premier avec b ⟹ a | c.
Fermat : p premier, p ∤ a ⟹ a^(p−1) ≡ 1 [p].
Congruences : a ≡ b [n] et c ≡ d [n] ⟹ a+c ≡ b+d [n] et ac ≡ bd [n].
PGCD : algorithme d'Euclide — pgcd(a,b) = pgcd(b,r). pgcd(a,b)·ppcm(a,b) = |ab|.

10. Structures algébriques (SM)

Groupe (G, ∗) : loi associative + élément neutre + tout élément a un symétrique. Commutatif = abélien.
Anneau (A, +, ×) : (A,+) groupe abélien, × associative et distributive sur +.
Corps : anneau commutatif où tout élément non nul est inversible (ex : ℝ, ℂ, ℤ/pℤ avec p premier).
Morphisme : f(x ∗ y) = f(x) ⊤ f(y).

11. Probabilités

p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B) · p(Ā) = 1 − p(A)
p(A|B) = p(A∩B)/p(B) · A, B indépendants ⟺ p(A∩B) = p(A)·p(B)

Dénombrement : arrangements Aₙᵖ = n!/(n−p)! · combinaisons Cₙᵖ = n!/(p!(n−p)!).
Loi binomiale B(n, p) : p(X = k) = Cₙᵏ·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ · E(X) = np · V(X) = np(1−p).
Espérance : E(X) = Σ xᵢ·p(X = xᵢ) · V(X) = E(X²) − [E(X)]².

⚠️ Pièges fréquents à l'examen national SM : oublier la valeur absolue dans ∫ u'/u = ln|u| · confondre arg(z̄) = −arg(z) et arg(−z) = arg(z) + π · appliquer le TVI sans vérifier la continuité · oublier le cas r = 0 dans la division euclidienne.

Autres fiches de révision

Conditions et conventions

Vérifier les unités, les hypothèses et les définitions de chaque symbole avant de calculer. Une formule sans ses conditions d’application peut donner un résultat faux.

Cette sélection n’est pas un inventaire certifié de tout le programme. Les méthodes de notation et les attentes de rédaction dépendent de l’énoncé et du barème.

Les logarithmes réels demandent un argument strictement positif ; les dénominateurs doivent être non nuls. Les angles des dérivées trigonométriques sont en radians. Toute famille de primitives inclut une constante + C. La formule usuelle de la somme géométrique suppose q ≠ 1 ; pour q = 1, la somme de n + 1 termes vaut (n + 1)u₀.

Pour y′ = ay + b, la forme avec −b/a exige a ≠ 0 ; si a = 0, y = bx + k. Les puissances et racines doivent respecter leur domaine réel. Pour une probabilité conditionnelle, l’événement conditionnant doit avoir une probabilité strictement positive. Le modèle binomial exige des essais indépendants de même probabilité.

Les limites affichées avec xⁿ à +∞ supposent n > 0. Dans les racines réelles, n est entier positif ; retenir a > 0 lorsque des exposants rationnels quelconques sont utilisés. Les arguments complexes sont définis pour z ≠ 0, modulo 2π. La convention d’anneau unitaire et les conditions de continuité/dérivabilité doivent être précisées dans le cours.

Références et limites du guide

Révision éditoriale : 2026-10-08. Guide éducatif indépendant, non officiel.

Aide-mémoire pédagogique, non exhaustif et non officiel. Les références institutionnelles ne certifient pas chaque formule ni un coefficient d’examen. Utiliser le programme et les conventions de l’énoncé correspondant à sa filière.

Les portails généraux ne certifient ni une règle propre à chaque formation ni une prochaine campagne. Vérifie les documents correspondant à ton statut.

حدود الدليل

دليل تعليمي مستقل وغير رسمي. تحقق من شروط المؤسسة والدورة المعنية؛ لا نضمن قبولاً أو منحة أو وظيفة أو معادلة رسمية.