L'essentiel des formules du programme de mathématiques 2ème année Bac Sciences Expérimentales (PC et SVT) : limites, dérivation, suites, ln/exp, intégrales, nombres complexes, géométrie dans l'espace et probabilités. En filière PC, les maths comptent coefficient 7 à l'examen national — c'est la 2ème matière la plus lourde après la physique-chimie.
1. Limites et continuité
limx→+∞ xⁿ = +∞ · limx→+∞ 1/xⁿ = 0 · limx→0 sin(x)/x = 1
- Encadrement (gendarmes) : g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et lim g = lim h = ℓ ⟹ lim f = ℓ.
- TVI : f continue sur [a,b], k entre f(a) et f(b) ⟹ l'équation f(x) = k admet au moins une solution. Avec monotonie stricte : solution unique. C'est l'outil pour montrer que f(x) = 0 admet une solution α ∈ ]a,b[.
- Formes indéterminées : ∞−∞ · 0×∞ · ∞/∞ · 0/0 — factoriser par le terme dominant ou utiliser les croissances comparées.
2. Dérivation et étude des fonctions
| Fonction | Dérivée | Fonction | Dérivée |
|---|---|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | uⁿ | n·u'·uⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² | √u | u'/(2√u) |
| √x | 1/(2√x) | ln u | u'/u |
| sin x | cos x | eᵘ | u'·eᵘ |
| cos x | −sin x | u/v | (u'v − uv')/v² |
(u·v)' = u'v + uv' · Tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a)
- f' > 0 sur I ⟹ f strictement croissante · f' < 0 ⟹ strictement décroissante.
- f'' > 0 ⟹ convexe (∪) · f'' < 0 ⟹ concave (∩) · changement de signe de f'' ⟹ point d'inflexion.
- Asymptotes : limx→±∞ f(x) = b ⟹ y = b · limx→a f(x) = ±∞ ⟹ x = a · lim [f(x) − (ax+b)] = 0 ⟹ asymptote oblique y = ax + b.
3. Suites numériques
Arithmétique : uₙ = u₀ + n·r · u₀+u₁+…+uₙ = (n+1)(u₀+uₙ)/2
Géométrique : uₙ = u₀·qⁿ · u₀+u₁+…+uₙ = u₀·(1−qⁿ⁺¹)/(1−q)
Géométrique : uₙ = u₀·qⁿ · u₀+u₁+…+uₙ = u₀·(1−qⁿ⁺¹)/(1−q)
- Croissante et majorée ⟹ convergente · décroissante et minorée ⟹ convergente.
- uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f continue et uₙ → ℓ ⟹ f(ℓ) = ℓ.
- −1 < q < 1 ⟹ lim qⁿ = 0 (le cas le plus utilisé à l'examen).
💡 Schéma classique du national : montrer par récurrence que (uₙ) est bornée → montrer la monotonie → conclure la convergence → trouver la limite avec le point fixe. Entraîne-toi sur ce schéma, il tombe presque chaque année.
4. Fonctions logarithmiques
ln(ab) = ln a + ln b · ln(a/b) = ln a − ln b · ln(aⁿ) = n·ln a
(ln x)' = 1/x · (ln u)' = u'/u · ln 1 = 0 · ln e = 1 · ln x = y ⟺ x = eʸ
(ln x)' = 1/x · (ln u)' = u'/u · ln 1 = 0 · ln e = 1 · ln x = y ⟺ x = eʸ
limx→+∞ ln x/x = 0 · limx→0⁺ x·ln x = 0 · limx→0 ln(1+x)/x = 1
5. Fonctions exponentielles
eᵃ·eᵇ = eᵃ⁺ᵇ · eᵃ/eᵇ = eᵃ⁻ᵇ · (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ · (eˣ)' = eˣ · (eᵘ)' = u'·eᵘ
limx→+∞ eˣ/x = +∞ · limx→−∞ x·eˣ = 0 · limx→0 (eˣ−1)/x = 1
💡 Croissances comparées : à l'infini, eˣ l'emporte sur xⁿ, qui l'emporte sur ln x. Quand tu as une forme indéterminée mêlant exp/puissance/ln, c'est presque toujours la clé.
6. Calcul intégral
∫ᵃᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) · ∫ u'·uⁿ = uⁿ⁺¹/(n+1) · ∫ u'/u = ln|u| · ∫ u'·eᵘ = eᵘ
Intégration par parties
∫ᵃᵇ u·v' dx = [u·v]ᵃᵇ − ∫ᵃᵇ u'·v dx
- Aire entre la courbe et (Ox) sur [a,b] : A = ∫ᵃᵇ |f(x)|dx × (unité d'aire).
- Aire entre deux courbes : A = ∫ᵃᵇ |f(x) − g(x)|dx.
7. Équations différentielles
y' = ay + b ⟹ y(x) = k·e^(ax) − b/a (k déterminé par la condition initiale)
8. Nombres complexes
z = a + ib · |z| = √(a²+b²) · z = r(cos θ + i·sin θ) = [r, θ]
|z·z'| = |z|·|z'| · arg(z·z') = arg z + arg z' · arg(z/z') = arg z − arg z'
|z·z'| = |z|·|z'| · arg(z·z') = arg z + arg z' · arg(z/z') = arg z − arg z'
- Équation du 2nd degré az² + bz + c = 0 avec Δ < 0 : z = (−b ± i√(−Δ))/2a — solutions conjuguées.
- Distance : AB = |z_B − z_A| · Angle : (AB, AC) = arg((z_C − z_A)/(z_B − z_A)).
- Translation : z' = z + b · Homothétie : z' − ω = k(z − ω) · Rotation : z' − ω = e^(iθ)(z − ω).
9. Géométrie dans l'espace
u·v = xx' + yy' + zz' · ‖u‖ = √(x²+y²+z²)
Distance point-plan : d(A, P) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²)
Distance point-plan : d(A, P) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²)
- Produit vectoriel u∧v : vecteur normal au plan (u, v) — sert à trouver l'équation d'un plan passant par 3 points.
- Sphère de centre Ω(a,b,c), rayon R : (x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = R².
- Position sphère/plan : comparer d(Ω, P) à R — sécants si d < R, tangents si d = R.
10. Probabilités
p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B) · p(Ā) = 1 − p(A) · p(A|B) = p(A∩B)/p(B)
- Dénombrement : tirage simultané → combinaisons Cₙᵖ · tirage successif sans remise → arrangements Aₙᵖ · avec remise → nᵖ.
- Loi binomiale B(n, p) : p(X = k) = Cₙᵏ·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ · E(X) = np.
- Variable aléatoire : E(X) = Σ xᵢ·pᵢ · V(X) = E(X²) − [E(X)]² · σ(X) = √V(X).
⚠️ Pièges fréquents : confondre tirage simultané (combinaisons) et successif (arrangements) · oublier la valeur absolue dans l'aire quand f est négative · diviser par q−1 au lieu de 1−q dans la somme géométrique · oublier la condition initiale dans une équation différentielle.
Coefficients PC / SVT — rappel
À l'examen national : en PC, physique-chimie coef 7, maths coef 7, SVT coef 5. En SVT, SVT coef 7, physique-chimie coef 5, maths coef 7. Détail complet : coefficients PC · coefficients SVT.
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