L'essentiel des formules de mathématiques pour les filières Sciences Économiques et Sciences de Gestion Comptable : limites, dérivation, suites, fonctions ln/exp, calcul intégral et probabilités. Les maths sont souvent la matière qui fait la différence pour décrocher l'ENCG ou l'ISCAE — chaque point compte.
1. Limites et continuité
limx→+∞ xⁿ = +∞ · limx→+∞ 1/xⁿ = 0 · limx→0⁺ 1/x = +∞
- Pour une fonction rationnelle en ±∞ : la limite est celle du rapport des termes de plus haut degré.
- Formes indéterminées : ∞−∞ · 0×∞ · ∞/∞ · 0/0 — factoriser par le terme dominant.
- TVI : f continue sur [a,b], k entre f(a) et f(b) ⟹ f(x) = k admet une solution. Sert à localiser une solution de f(x) = 0.
2. Dérivation et étude des fonctions
| Fonction | Dérivée | Fonction | Dérivée |
|---|---|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | uⁿ | n·u'·uⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² | ln u | u'/u |
| √x | 1/(2√x) | eᵘ | u'·eᵘ |
| u·v | u'v + uv' | u/v | (u'v − uv')/v² |
Équation de la tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a)
- f' > 0 ⟹ croissante · f' < 0 ⟹ décroissante · f'(x₀) = 0 avec changement de signe ⟹ extremum.
- Asymptotes : horizontale (lim f = b), verticale (lim = ±∞ en a), oblique (lim [f(x)−(ax+b)] = 0).
- En économie : le coût marginal est la dérivée du coût total — Cm(q) = C'(q).
3. Suites numériques
Arithmétique : uₙ = u₀ + n·r · uₙ = uₚ + (n−p)·r · Somme = (nb termes)(1er + dernier)/2
Géométrique : uₙ = u₀·qⁿ · Somme = 1er terme × (1−qⁿᵇ)/(1−q)
Géométrique : uₙ = u₀·qⁿ · Somme = 1er terme × (1−qⁿᵇ)/(1−q)
💡 Application économique : un capital placé à t% par an suit une suite géométrique de raison q = 1 + t/100. Capital après n années : Cₙ = C₀·(1 + t/100)ⁿ. Les exercices « épargne / crédit » du national utilisent presque toujours cette formule.
4. Fonctions logarithmiques et exponentielles
ln(ab) = ln a + ln b · ln(a/b) = ln a − ln b · ln(aⁿ) = n·ln a
(ln x)' = 1/x · (ln u)' = u'/u · ln 1 = 0 · ln e = 1
(ln x)' = 1/x · (ln u)' = u'/u · ln 1 = 0 · ln e = 1
eᵃ·eᵇ = eᵃ⁺ᵇ · (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ · (eˣ)' = eˣ · eˣ = a ⟺ x = ln a (a>0)
limx→+∞ ln x/x = 0 · limx→0⁺ x·ln x = 0 · limx→+∞ eˣ/x = +∞ · limx→−∞ x·eˣ = 0
- Résoudre eˣ = a : x = ln a · Résoudre ln x = a : x = eᵃ.
- Résoudre qⁿ ≤ a : n·ln q ≤ ln a (attention au sens de l'inégalité si ln q < 0).
5. Calcul intégral
∫ᵃᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) · ∫ xⁿ = xⁿ⁺¹/(n+1) · ∫ 1/x = ln|x| · ∫ eˣ = eˣ
- Aire sous la courbe sur [a,b] (f ≥ 0) : A = ∫ᵃᵇ f(x)dx × unité d'aire.
- Valeur moyenne de f sur [a,b] : μ = (1/(b−a))·∫ᵃᵇ f(x)dx.
6. Probabilités
p(A) = cas favorables / cas possibles (équiprobabilité)
p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B) · p(Ā) = 1 − p(A) · p(A|B) = p(A∩B)/p(B)
p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B) · p(Ā) = 1 − p(A) · p(A|B) = p(A∩B)/p(B)
- Dénombrement : tirage simultané → Cₙᵖ = n!/(p!(n−p)!) · successif sans remise → Aₙᵖ · avec remise → nᵖ.
- Variable aléatoire : E(X) = Σ xᵢ·pᵢ — espérance = « gain moyen ».
- A et B indépendants ⟺ p(A∩B) = p(A)·p(B).
⚠️ Pièges fréquents : confondre raison r (arithmétique, on ajoute) et raison q (géométrique, on multiplie) · oublier la condition x > 0 pour ln x · diviser par ln q sans vérifier son signe dans les inéquations · oublier que la somme géométrique commence au 1er terme choisi, pas forcément u₀.
Coefficients Éco / GC — rappel
En Sciences Économiques : économie générale coef 6, comptabilité coef 4, maths coef 4. En SGC : comptabilité coef 6, maths coef 4. Détail : coefficients Éco · coefficients GC.
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